CBC 的部落格

一般人在聽到「高微」這兩個字時，直覺的反應是，"我的天呀!" 地捧著書喊頭痛，一堆的定理、定義、引理加上證不完的證明，而偏偏它又是數學系上一門相當重要的必修課，要是平常不持續做些整理的工作，考試前才惡補，是會唸到讓人神智不清，精神錯亂的，所以每年被當的人數也老是居高不下，二修三修的例子也是時有所聞，其實說真的，系上老師對於高微的把關並不嚴，很多人學完一整學年，還說不出個所以然來，這點和別的學校同樣修高微的數學系學生程度一比就知道，既然如此，高微真有那麼難嗎？有沒有什麼學習的「撇步」呢？以下提供個人學習的一點心得與大家分享。

首先，基本的觀念一定要弄懂，比如說：集合中，具有什麼樣的性質, 我們形容它是 closed 或 bounded 或 compact ? 在數列裡，能否說出 subsequence 和 sequence的關係? 更甚於，convergence 和 continuity 的關係、continuity 和 uniform continuity 的差別、pointwise convergence 和 uniformly convergence… 等，對它們的來龍去脈，性質，與彼此間的關係都要了解，往後在遇到題目時，這些都將化身在題目中，當你檢視題目條件時，讓你愉快寫下 "=>" 的有利工具。

其次，定理也是個很好用的解題工具，但是運用定理的前題是：必須將該定理的所需條件牢記清楚，也唯有在清楚的知道需要哪些條件的情形下，才能明白題目中暗示了哪些條件，還少了哪些條件. 還記得當年考期中期末考時，總有十來分的定理敘述。當時超感謝老師的慈悲大放送，現在才能體會老師們的用心良苦。舉個例子說說吧! 像判別是否為 uniformly convergence 就有許多的 test 可以使用，但每個 test 所需條件不盡相同，有的直接就可以作判別，有的還必須轉好幾個彎，清楚知道每個 test 需要哪些條件，就變成了類似題目的解題關鍵。

有了以上的基本功力後，接著，就是練習的功夫，熟練工具 (定義，定理) 的應用，在看到題目時，先不要看解答，試著自己思考、運用之前所學的方法解決眼前的問題，到真正想不出來時，再看解答；看完解答後，可不是這樣就結束了，還有後續的工作，那就是闔上書本，試著用自己的話來表達剛才的收穫，等到每一步驟的來龍去脈都很清楚的時候，這一題才算真正懂了。

觸類旁通，是很重要的學習關鍵，很多觀念其實是跨章節的，像是 uniformly convergence 就往往會跟 continuity、integration、differentiation 有關，而 continuity和integration、differentiation 三者之間的關係更是撲朔迷離，不要被章節限制住思考，把高微連起來唸，這樣得到的知識才不會支離破碎。

最末感謝 chunpei 和 louise 的來信指教，也希望這篇文章對現在與未來即將接觸高微的學弟妹們能有所幫助，大家都能在高微的魔掌下看到一絲絲光明的曙光。